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             Sumário [pdf]

  1. Introdução [pdf]
    1. Equações diferenciais e suas soluções
    2. Teoria qualitativa das equações diferenciais
    3. Análise numérica de equações diferenciais
    4. Experimento: dinâmica de populações
    5. Exercícios
    6. Notas
  2. Soluções locais [pdf]
    1. Teorema de Existência e Unicidade (Teorema de Picard)
      1. Ponto fixo de contrações
      2. Demonstração do Teorema 2.4
      3. Estimativas do intervalo de definição
    2. Teorema de Existência (Teorema de Peano)
      1. Aproximação por funções diferenciáveis
      2. Equicontinuidade
      3. Conclusão da demonstração
    3. Teoremas de Dependência
      1. Dependência contínua do parâmetro
      2. Teorema de Dependência Contínua
    4. Teorema de Dependência Diferenciável
      1. Lema de Hadamard
      2. Diferenciabilidade C1
      3. Demonstração do Teorema 2.24
      4. Teorema de Dependência Diferenciável
    5. Generalizações
      1. Equações de ordem superior
      2. Equações diferenciais parciais
    6. Experimento: método de Picard
    7. Exercícios
    8. Notas
  3. Soluções maximais [pdf]
    1. Existência e unicidade
    2. Comportamento nos extremos
    3. Equações globalmente lipschitzianas
      1. Lema de Gronwall
      2. Demonstração do Teorema 3.8
    4. Teorema de Dependência Contínua (versão global)
      1. Dependência contínua do parâmetro
      2. Teorema de Dependência Contínua
    5. Teorema de Dependência Diferenciável (versão global)
    6. Experimento: continuação de soluções
    7. Exercícios
    8. Notas
  4. Integração numérica [pdf]
    1. Método de Euler
      1. Formulação do método
      2. Estimativas de erro
    2. Métodos de Taylor
    3. Métodos de Runge-Kutta
      1. Um método de ordem 2
      2. A família de métodos de Runge-Kutta
    4. Dimensões superiores
    5. Estimativas de erro
      1. Erro global e erro de truncamento
      2. Estabilidade
    6. Experimento: curvas de nível
    7. Exercícios
    8. Notas
  5. Equações autônomas [pdf]
    1. Fluxo de uma equação autônoma
      1. Trajetórias regulares, periódicas e estacionárias
      2. Equações completas
      3. Equações não autônomas ou de ordem superior
    2. Teorema do Fluxo Tubular
    3. Transformações de Poincaré
      1. Existência e diferenciabilidade
      2. Trajetórias periódicas
    4. Conjugação e equivalência de fluxos
    5. Teorema de Recorrência de Poincaré
    6. Experimento: circuitos elétricos
    7. Exercícios
    8. Notas
  6. Equações lineares autônomas [pdf]
    1. Exponencial de uma aplicação linear
    2. Cálculo da exponencial
      1. Aplicações nilpotentes
      2. Aplicações diagonalizáveis
      3. Forma Canônica de Jordan - caso real
      4. Aplicações quase diagonalizáveis
      5. Forma Canônica de Jordan - caso geral
    3. O caso bidimensional
      1. A tem dois valores característicos reais distintos
      2. A tem um único valor característico real
      3. A não tem valores característicos reais
    4. Conjugação diferenciável de fluxos lineares
    5. Classificação topológica dos fluxos hiperbólicos
      1. Atratores e repulsores lineares hiperbólicos
      2. Teorema de classificação topológica
    6. Experimento: instabilidade aerodinâmica
    7. Exercícios
    8. Notas
  7. Equações lineares não autônomas [pdf]
    1. Espaço de soluções da equação homogênea
    2. Soluções fundamentais da equação homogênea
    3. Fórmula de Liouville–Ostrogradskii
      1. Aplicação a equações autônomas não lineares
      2. Aplicação a equações lineares de ordem superior - wronskiano
    4. Espaço de soluções da equação não homogênea
    5. Teorema de Floquet
      1. Logaritmos de aplicações lineares
    6. Experimento: ressonância
    7. Exercícios
    8. Notas
  8. Estabilidade de Lyapunov [pdf]
    1. Equações autônomas: estabilidade linear
      1. Equações lineares
      2. Equações quase lineares
    2. Equações autônomas: funções de Lyapunov
      1. Teorema de estabilidade de Lyapunov
      2. Teorema do Conjunto Invariante
    3. Análise de Lyapunov de equações não autônomas
      1. Estabilidade uniforme
      2. Funções de Lyapunov
      3. Comentários adicionais
    4. Estabilidade linear e expoentes de Lyapunov
      1. Equações lineares
      2. Equações quase lineares
      3. Expoentes de Lyapunov
    5. Experimento: maior expoente de Lyapunov
    6. Exercícios
    7. Notas
  9. Teorema de Grobman-Hartman [pdf]
    1. Pontos estacionários hiperbólicos
      1. Pontos estacionários simples
      2. Pontos estacionários hiperbólicos
    2. Teorema de Grobman–Hartman para fluxos
    3. Demonstração do Teorema de Grobman–Hartman
      1. Globalização da dinâmica
      2. Tempo discreto
      3. Conclusão da demonstração
    4. Teorema de Grobman–Hartman para difeomorfismos
    5. Conjugação diferenciável
    6. Experimento: sistemas planetários
    7. Exercícios
    8. Notas
  10. Teorema da Variedade Estável [pdf]
    1. Variedades estáveis e instáveis locais
    2. Teorema da Variedade Estável
    3. Demonstração do teorema
      1. Transformação de gráfico
      2. Diferenciabilidade C1
      3. Diferenciabilidade Ck
      4. Conclusão
    4. Trajetórias periódicas hiperbólicas
    5. Experimento: equação da onda
    6. Exercícios
    7. Notas
  11. Campos de vetores em dimensão 2 [pdf]
    1. Conjuntos α–limite e ω–limite
    2. Teorema de Poincaré–Bendixson
      1. Consequências do Teorema da Curva Fechada
      2. Conclusão da demonstração
      3. Equação de van der Pol
    3. Conjuntos limite de fluxos em superfícies
      1. Equações diferenciais em variedades
      2. Teorema de Poincaré–Bendixson na esfera
      3. Conjuntos minimais
    4. Teorema de Mayer sobre fluxos conservativos
      1. Medida transversal invariante
      2. Domínios das transformações de Poincaré
      3. Estabilidade e componentes periódicas
      4. Recorrência e componentes minimais
      5. Conclusão da demonstração e comentários adicionais
    5. Comentários sobre estabilidade estrutural
    6. Experimento: atrator de Lorenz
    7. Exercícios
    8. Notas
  12. Teorema de Poincaré-Hopf [pdf]
    1. Índice de ponto estacionário
      1. Número de voltas em torno de um ponto
      2. Campos de vetores no plano
      3. Índice de um ponto estacionário em superfícies
    2. Característica de Euler
      1. Poliedros
      2. Superfícies
    3. Índices e curvatura
    4. Demonstração do teorema
    5. Experimento: ciclo oxigênio-ozônio
    6. Exercícios
    7. Notas

 

  1. Variedades diferenciáveis [pdf]

       Referências [pdf]

            Índice remissivo [pdf]